一次數列的性質

　　1。p1(x),p2(x)均為一次數列，則p1(x)±p2(x)與c*p1(x)±p2(x)(c為非零常數)也是一次數列。p(x)是一次函數，(n,p(x))構成直線。

　　2。p(m)-p(n)=En(m)*b'-En(n)*b'=(En(m)-En(n))*b'=[0,m-n]*b'

　　3。m+n=p+q -> p(p)+p(q)=p(m)+p(n)

　　(證明:m+n=p+q -> En(m)+En(n)=En(p)+En(q)

　　p(m)+p(n)=En(m)*b'+En(n)*b'=(En(m)+En(n))*b'

　　p(p)+p(q)=(En(p)+En(q))*b'=(En(m)+En(n))*b'=p(m)+p(n)

　　4。從p(x)=En(x)*b'中取出等距離的項，構成一個新數列，此數列仍是一次數列，其一次項系數為k*b(1)( k為取出項數之差)，常項系數未知。

　　5。在一次數列中，從第二項起，每一項(有窮數列末項除外)都是它前后兩項的平均數.

　　6。當一次項系數b(1)>0時，數列中的數隨項數的增大而增大;當b(1)<0時，數列中的數隨項數的減少而減小;b(1)=0時，數列中的數等于一個常數。

　　等差數列的判定

　　1、a(n+1)--a(n)=d (d為常數、n ∈N*)[或a(n)--a(n-1)=d，n ∈N*，n ≥2,d是常數]等價于{a(n)}成等差數列。

　　2、2a(n+1)=a(n)+a(n+2) [n∈N*] 等價于{a(n)}成等差數列。

　　3、a(n)=kn+b [k、b為常數,n∈N*] 等價于{a(n)}成等差數列。

　　4、S(n)=A(n)^2 +B(n) [A、B為常數，A不為0，n ∈N* ]等價于{a(n)}為等差數列。

　　等差數列前n項和公式S 的基本性質

　　⑴數列為等差數列的重要條件是：數列的前n項和S 可以寫成S = an^2 + bn的形式(其中a、b為常數).

　　⑵在等差數列中，當項數為2n (n∈ N+)時，S偶-S奇 = nd， S奇÷S偶=an÷a(n+1) ;當項數為(2n-1)(n∈ N+)時，S奇—S偶=a中 ，S奇÷S偶 =n÷(n-1) .

　　⑶若數列為等差數列，則S n，S2n -Sn ，S3n -S 2n，…仍然成等差數列，公差為k^2d .

　?、热魞蓚€等差數列的前n項和分別是S 、T (n為奇數)，則 = .

　　⑸在等差數列中，S = a，S = b (n>m)，則S = (a-b).

　?、实炔顢盗兄?， 是n的一次函數，且點(n， )均在直線y = x + (a - )上.

　　(7)記等差數列{an}的前n項和為Sn：①若a1>0，公差d<0，則當an≥0且an+1≤0時，S最大;②若a1<0，公差d>0，則當an≤0且an+1≥0時，S最小。

　　(8)若等差數列S(p)=q,S(q)=p,則S(p+q)=-(p+q)

　　等差數列的特殊性質

　　在有窮等差數列中，與首末兩項距離相等的兩項和相等。并且等于首末兩項之和;特別的，若項數為奇數，還等于中間項的2倍,

　　即，a(1)+a(n)=a(2)+a(n-1)=a(3)+a(n-2)=···=2*a中

　　例：

　　數列：1，3，5，7，9，11中

　　a(1)+a(6)=12 ; a(2)+a(5)=12 ; a(3)+a(4)=12 ; 即，在有窮等差數列中，與首末兩項距離相等的兩項和相等。并且等于首末兩項之和。

　　數列：1，3，5，7，9中

　　a(1)+a(5)=10 ; a(2)+a(4)=10 ; a(3)=5=[a(1)+a(5)]/2=[a(2)+a(4)]/2=10/2=5 ; 即，若項數為奇數，和等于中間項的2倍,另見，等差中項。
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