關(guān)于雞蛋的數(shù)學(xué)趣味智力題與答案

時(shí)間：2017-08-17 16:13:04 粉燕710由分享

　　為了能幫助廣大小學(xué)生朋友們提高數(shù)學(xué)成績(jī)和數(shù)學(xué)思維能力，學(xué)習(xí)啦小編特地為大家找了一道關(guān)于雞蛋的數(shù)學(xué)趣味智力題做了詳細(xì)分析，希望能夠切實(shí)的幫到大家。

　　關(guān)于雞蛋的數(shù)學(xué)趣味智力題

　　一個(gè)少年用小車推著一籃雞蛋去賣。在路上，一輛手扶拖拉機(jī)撞了小車一下，籃子掉在地上，所有的雞蛋全打碎了。司機(jī)想賠給他錢，問(wèn)他總共有多少雞蛋。“我不知道。”少年說(shuō)，“只記得我一對(duì)一對(duì)地移放時(shí)，最后剩一個(gè)。當(dāng)我接三個(gè)、四個(gè)、五個(gè)、六個(gè)移放雞蛋時(shí)，也都是剩一個(gè)。當(dāng)我按七個(gè)移放時(shí)，就一個(gè)也不剩了。

　　請(qǐng)你算算，有多少雞蛋?”

　　關(guān)于雞蛋的數(shù)學(xué)趣味智力題解析

　　司機(jī)想，這是要求出一個(gè)數(shù)：它能被七整除，而用二、三、四、五、六來(lái)除時(shí)，都有余數(shù)一。能被二、三、四、五、六整除的最小的數(shù)，就是這些數(shù)的最小公倍數(shù)，是六十。也就是要求的這個(gè)數(shù)是：能被七整除，又比六十的倍數(shù)多一的數(shù)。這個(gè)數(shù)可以用逐次嘗試法求得：60÷7=8，余4;

　　2×60÷7=17，余1;

　　3×60÷7=25，余5;

　　4×60÷7=34，余2;

　　5×60÷7=42，余6。

　　5×60+1÷7=43。

　　啊，少年的籃子里最少有5×60+1=301(個(gè))。想一想，司機(jī)的算法為什么是對(duì)的。

　　兩個(gè)少年在市場(chǎng)上賣大蘋(píng)果，一個(gè)要兩個(gè)賣五角，另一個(gè)要三個(gè)賣一元。他們的籃子里各有三十個(gè)蘋(píng)果，第一個(gè)少年可以賣七元五角，第二個(gè)少年可以賣十元。為了表示友好和便于買賣，他們商定：把兩個(gè)人的蘋(píng)果合起來(lái)賣，不挑不選，一元五角五個(gè)。賣完后，他們驚奇地發(fā)現(xiàn)：賣了十八元，比原來(lái)能賣的錢多出五角。沒(méi)差沒(méi)錯(cuò)，怎么多出了五角?這錢應(yīng)該歸誰(shuí)得呢?當(dāng)兩個(gè)少年在算賬，想搞清楚這是怎么回事的時(shí)候，被另外兩個(gè)賣蘋(píng)果的少年聽(tīng)到了。他們覺(jué)得，兩個(gè)人合起來(lái)賣，可以多賺錢，決定也照這個(gè)辦法來(lái)賣。

　　這兩個(gè)少年也各有三十個(gè)蘋(píng)果，一個(gè)要兩個(gè)賣一元，能賣十五元，另一個(gè)要三個(gè)賣一元，能賣十元，一共能賣二十五元?？墒?，接五個(gè)二元錢賣完后，他們也驚奇地發(fā)現(xiàn)：總共只賣二十四元，比兩人分開(kāi)賣少了一元。

　　用同樣的辦法，結(jié)果卻是一個(gè)多賣了五角，一個(gè)少賣了一元，這真是奇怪了。實(shí)際上，當(dāng)兩個(gè)少年把蘋(píng)果合在一起賣的時(shí)候，已經(jīng)不是按照各自定的價(jià)格了。要是他們考慮到這一點(diǎn)，就不會(huì)感到驚奇了。好，現(xiàn)在以后兩個(gè)少年的賣法為例，來(lái)看看他們是怎樣少賣了一元錢的：

　　要是他們各自單獨(dú)賣蘋(píng)果，第一個(gè)少年要兩個(gè)蘋(píng)賣一元，就是一個(gè)蘋(píng)果賣元;另一個(gè)少年是三個(gè)蘋(píng)果賣一元，就是一個(gè)蘋(píng)果賣元。當(dāng)他們把蘋(píng)果合在一起，并且按每五個(gè)蘋(píng)果二元賣的時(shí)候，每一個(gè)蘋(píng)果的價(jià)格就變成了元。這就是說(shuō)，第一個(gè)少年的全部蘋(píng)果不是按元一個(gè)賣的，而是按元賣的，每個(gè)蘋(píng)果少了元(-=)，一共有三十個(gè)蘋(píng)果，共少賣了三元錢。另一個(gè)少年的蘋(píng)果也不是按元一個(gè)賣的，同樣是按元一個(gè)賣的，每個(gè)蘋(píng)果就多賣了元()，一共是三十個(gè)蘋(píng)果，共多賣了二元。兩相似消，當(dāng)然比各自單獨(dú)賣少了一元了。

　　現(xiàn)在，為什么前面兩個(gè)少年多賣了五角，也就好明白了。

　　通過(guò)這種方法解答數(shù)學(xué)智力題，是不是很好理解呢?

　　關(guān)于雞蛋的數(shù)學(xué)趣味智力題：數(shù)雞蛋

　　一位老太太挎了一筐雞蛋到市場(chǎng)去賣。路上被一名騎車的人撞倒，雞蛋全部打破了。騎車人攙起老太太說(shuō):“你帶了多少雞蛋?我賠你。”老太太說(shuō):“總數(shù)我也不知道，當(dāng)初我們從雞窩里揀雞蛋時(shí)是五個(gè)五個(gè)揀的，最后又多揀了一個(gè);昨天我老頭子查了一遍，他是四個(gè)一數(shù)的，最后也是多一個(gè);今早我又?jǐn)?shù)了一遍，是三個(gè)一數(shù)的，也是多一個(gè)。”騎車人在心里算了一下，按市場(chǎng)價(jià)賠了雞蛋錢。老太太一共帶了多少雞蛋?

　　看答案

　　把這個(gè)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)題就是:有一個(gè)數(shù)，無(wú)論用3、4、5去除，結(jié)果都余1，求這個(gè)數(shù)。換個(gè)說(shuō)法:有一個(gè)數(shù)，減去1就能同時(shí)被3、4、5整除。顯然，任何3、4、5的公倍數(shù)加1都是這個(gè)問(wèn)題的解，最小的解是61，往下是121、181等等。問(wèn)題中挎筐的是一位老太太，因此雞蛋不可能很多，故可認(rèn)為是61個(gè)。

　　關(guān)于雞蛋的數(shù)學(xué)趣味智力題：扔雞蛋

　　只給你二個(gè)雞蛋，你能上100層樓，你想知道雞蛋的硬度。雞蛋可能很硬或很脆弱，如果雞蛋從第m層掉下而沒(méi)破裂，而從第m+1層掉下就破裂了，那么這個(gè)雞蛋的硬度就是m。你需要找出這個(gè)m和在最壞情況下最少試驗(yàn)次數(shù)。(經(jīng)典雞蛋問(wèn)題)

　　A: 計(jì)算機(jī)學(xué)生可能會(huì)首先用第一個(gè)雞蛋做二分搜索(O(logN))再用第二個(gè)遞增做線性搜索(O(N))，最后必將用線性搜索結(jié)束因?yàn)橛玫诙€(gè)雞蛋時(shí)你無(wú)法確定最高一層。因此，問(wèn)題變?yōu)槿绾问褂玫谝粋€(gè)雞蛋來(lái)減少線性搜索。

　　于是如果第一個(gè)蛋破裂在最高點(diǎn)我們要扔x-1次并且我們必須從x層高扔第一個(gè)蛋?，F(xiàn)在如果第一個(gè)蛋的第一次扔沒(méi)有破裂，如果第一個(gè)蛋在第二次扔破了我們要扔x-2次第二個(gè)蛋。假如16是答案，我需要扔16次才能找到答案。來(lái)驗(yàn)證一下是否可以從16層開(kāi)始扔，首先從16層扔如果它破裂了，我們嘗試所有其下的樓層從1到15;如果沒(méi)破我們還能扔15次，于是我們將從32層(16+15+1)再扔。原因是如果它在32層破裂我們能嘗試其下所有樓層從17到31最壞扔第二個(gè)蛋14次(總共能扔16次了)。如果32層并沒(méi)破，我們還剩下能扔13次，依此類推得:

　　1 + 15 16 如果它在16層破裂，從1到15層最壞扔15次第二個(gè)蛋

　　1 + 14 31 如果它在31層破裂，從17到30層最壞扔14次第二個(gè)蛋

　　1 + 13 45.....

　　1 + 12 58

　　1 + 11 70

　　1 + 10 81

　　1 + 9 91

　　1 + 8 100 在最后我們能輕易地做到因?yàn)槲覀冇凶銐蚨嗳拥拇螖?shù)來(lái)完成任務(wù)

　　從上表我們能看到最佳的一個(gè)在最后一步將需要0次線性搜索。

　　能把上述規(guī)律寫(xiě)為: (1+p) + (1+(p-1))+ (1+(p-2)) + .........+ (1+0) >= 100.

　　令1+p=q上述式子變?yōu)閝(q+1)/2>=100,對(duì)100解答得到q=14。

　　扔第一個(gè)蛋從層14，27，39，50，60，69，77，84，90，95，99，100直到它破裂，再開(kāi)始扔第二個(gè)蛋。最壞情況只需14次。

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　　在只有一個(gè)雞蛋時(shí)，保險(xiǎn)起見(jiàn)，我們只能從一樓開(kāi)始，一層一層地試驗(yàn)，看看雞蛋有沒(méi)有被摔爛。這樣最精確，但是消耗的時(shí)間也最久。如果我們事先就知道這個(gè)雞蛋不被摔碎的最高落下點(diǎn)在30層到75層之間，我們最多也只要嘗試45次就能知道結(jié)果?，F(xiàn)在我們手上有兩個(gè)雞蛋，根據(jù)上面的分析，一個(gè)合理的策略就是用第一個(gè)雞蛋確定出一個(gè)較小的樓層范圍，然后在這個(gè)范圍里用第二個(gè)雞蛋從下往上逐層嘗試。

　　比如說(shuō)讓第一個(gè)雞蛋每隔5層試驗(yàn)一次。當(dāng)它在某一層被摔爛時(shí)，也就意味著確定了一個(gè)4層的待測(cè)試寬度(為什么是4層呢?假如雞蛋在5樓的時(shí)候沒(méi)破，10樓的時(shí)候破了，那么我們就只需要知道雞蛋在 6 , 7 , 8 , 9 層的結(jié)果)。這時(shí)候，用第二顆雞蛋一層一層地嘗試，就能用較少的次數(shù)找出雞蛋剛好摔不爛的高度。

　　需要注意的是，如果想留給第二顆雞蛋較小的測(cè)試寬度，就要縮短第一個(gè)雞蛋的測(cè)試跨度。相應(yīng)的，也就增加了嘗試次數(shù)。為了確定合適的跨度，使得總試驗(yàn)次數(shù)之和盡可能小，我們可以采取如下的辦法。

　　設(shè)跨度是L，第一顆雞蛋的嘗試次數(shù)就是[ 100/L ]，第二顆雞蛋的嘗試次數(shù)就是 L - 1，因此嘗試次數(shù)總和就是 [ 100/L ] + L - 1 。根據(jù)這個(gè)公式，我們可以列出下面這個(gè)表 :

　　可以看出，我們只需要選 8 - 13 之間的一個(gè)寬度，都能使得總嘗試次數(shù)是19次。

　　但問(wèn)題是，這已經(jīng)是最優(yōu)策略了嗎，有沒(méi)有更好的方法呢?

　　有的。上面的方法固定了第一顆雞蛋的測(cè)試跨度，如果我們靈活變動(dòng)，就能使得總嘗試次數(shù)變得更少。首先，我們選擇從14樓丟下第一顆雞蛋。如果它破碎了，我們就從1樓開(kāi)始，逐層丟第二顆雞蛋，最多試14次便能得到答案。如果它沒(méi)有破碎，那我們往上走 13 層，在 27 樓第二次丟下第一顆雞蛋。此時(shí)如果雞蛋碎了，那我們只需要在 15 層到 26 層之間用第二顆雞蛋進(jìn)行最多12次試驗(yàn)即可，加上第一顆雞蛋的兩次嘗試，仍然是14次。類的，依次減小測(cè)試跨度，如果雞蛋足夠頑強(qiáng)，那我們丟下第一顆雞蛋的樓層就分別是 14 ， 27 ， 39 ， 50 ， 60 ， 69 ， 77 ，84 ， 90 ， 95 ， 99 以及最后的100層。因?yàn)榈谝活w雞蛋每多嘗試一次，第二顆雞蛋需要嘗試的最大次數(shù)就減少一次，因此，總嘗試次數(shù)的最大可能一直是不變的，保持在14次。用這種方法，我們只需要不超過(guò)14次的嘗試就能夠找出答案。有沒(méi)有更優(yōu)的策略了?感興趣的讀者可以自行思考。