下期中高一級(jí)數(shù)學(xué)試卷帶答案
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高一數(shù)學(xué)下期中試卷帶答案
一、填空題(本大題共17小題，每小題5分，滿(mǎn)分70分)
1.sin135°= .
2.已知△ABC為直角三角形，∠C=90°，∠B=30°，AB=2，則AC= .
3.直線y=2x+1的斜率為 .
4.圓(x﹣1)2+y2=9的半徑為 .
5.等差數(shù)列{an}，a1=1，a2=2，則a3= .
6.函數(shù)f(x)=sin2x+sinxcosx的周期為 .
7.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，已知b﹣c= a，2sinB=3sinC，則cosA的值為 .
8.已知過(guò)點(diǎn)A(﹣2，m)和點(diǎn)B(m，4)的直線l1，直線2x+y﹣1=0為l2，直線x+ny+1=0為l3，若l1∥l2，l2⊥l3，則m+n= .
9.若直線3x﹣4y+5=0與圓x2+y2=r2(r>0)相交于A，B兩點(diǎn)，且∠AOB=120°，(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，則r= .
10.(B)已知等比數(shù)列{an}，首項(xiàng)為3，公比為 ，前n項(xiàng)之積最大，則n= .
11.已知cos(α﹣ )=﹣ ，sin( ﹣β)= ，且0<β< <α<π，則sin = .
12.在△ABC中，已知AC=2，BC=3，cosA=﹣ ，則sin(2B+ )= .
13.設(shè)兩條直線的方程分別為x+y+a=0，x+y+b=0，已知a，b是方程x2+x+c=0的兩個(gè)實(shí)根，且0≤c≤ ，則這兩條直線之間的距離的取值范圍是 .
14.設(shè)點(diǎn)M(x0，1)，已知圓心C(2，0)，半徑為1的圓上存在點(diǎn)N，使得∠CMN=45°，則x0的最大值為 .
15.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=1，Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且滿(mǎn)足：anSn+1﹣an+1Sn+an﹣an+1= anan+1，則 S12= .
16.在△ABC中，3sinA+4cosB=6，3cosA+4sinB=1，則∠C的大小為 .
17.在△ABC中，AC=3，∠A= ，點(diǎn)D滿(mǎn)足 =2 ，且AD= ，則BC的長(zhǎng)為 .
二、解答題
18.(1)已知sinα= ，α∈( ，π)，求sin2α;
(2)已知tanα= ，求tan2α的值.
19.在△ABC中，
(1)已知 a=2bsinA，求B;
(2)已知a2+b2+ ab=c2，求C.
20.(1)求過(guò)點(diǎn)A(2，3)，且垂直于直線3x+2y﹣1=0的直線方程;
(2)已知直線l過(guò)原點(diǎn)，且點(diǎn)M(5，0)到直線l的距離為3，求直線l的方程.
21.過(guò)點(diǎn)P(﹣3，﹣4)作直線l，當(dāng)l的斜率為何值時(shí)
(1)l將圓(x﹣1)2+(y+2)2=4平分?
(2)l與圓(x﹣1)2+(y+2)2=4相切?
(3)l與圓(x﹣1)2+(y+2)2=4相交且所截得弦長(zhǎng)=2?
22.已知等差數(shù)列{an}滿(mǎn)足a2=0，a6+a8=﹣10.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn;
(3)求數(shù)列{ }的前n項(xiàng)和Tn.
23.在△ABC中，角A、B、C的 對(duì)邊分別為a、b、c，且 .
(1)求 的值;
(2)若 ，求tanA及tanC的值.
24.如圖，ABC為一直角三角形草坪，其中∠C=90°，BC=2米，AB=4米，為了重建草坪，設(shè)計(jì)師準(zhǔn)備了兩套方案：
方案一：擴(kuò)大為一個(gè)直角三角形，其中斜邊DE過(guò)點(diǎn)B，且與AC平行，DF過(guò)點(diǎn)A，EF過(guò)點(diǎn)C;
方案二：擴(kuò)大為一個(gè)等邊三角形，其中DE過(guò)點(diǎn)B，DF過(guò)點(diǎn)A，EF過(guò)點(diǎn)C.
(1)求方案一中三角形DEF面積S1的最小值;
(2)求方案二中三角形DEF面積S2的最大值.
參考答案與試題解析
一、填空題(本大題共17小題，每小題5分，滿(mǎn)分70分)
1.sin135°= .
【考點(diǎn)】運(yùn)用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值.
【分析】運(yùn)用特殊角的三角函數(shù)值，和誘導(dǎo)公式即可化簡(jiǎn)求值.
【解答】解：sin135°=sin=sin45 .
故答案為： .
2.已知△ABC為直角三角形，∠C=90°，∠B=30°，AB=2，則AC= 1 .
【考點(diǎn)】正弦定理.
【分析】根據(jù)含有30°的直角三角形的性質(zhì)得出.
【解答】解：∵∠C=90°，∠B=30°，AB=2，
∴AC= .
故選1.
3.直線y=2x+1的斜率為 2 .
【考點(diǎn)】直線的斜率.
【分析】根據(jù)斜截式直線方程y=kx+b的斜率為k，寫(xiě)出斜率即可.
【解答】解：直線y=2x+1的斜率為2.
故答案為：2.
4.圓(x﹣1)2+y2=9的半徑為 3 .
【考點(diǎn)】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
【分析】直接由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求得圓的半徑.
【解答】解：由圓(x﹣1)2+y2=9，得r2=9，
∴r=3.
即圓(x﹣1)2+y2=9的半徑為3.
故答案為：3.
5.等差數(shù)列{an}，a1=1，a2=2，則a3= 3 .
【考點(diǎn)】等差數(shù)列的通項(xiàng)公式.
【分析】由等差數(shù)列{an}的性質(zhì)可得：2a2=a1+a3.即可得出.
【解答】解：由等差數(shù)列{an}的性質(zhì)可得：2a2=a1+a3.
∴2×2=1+a3，
解得a3=3.
故答案為：3.
6.函數(shù)f(x)=sin2x+sinxcosx的周期為 π .
【考點(diǎn)】三角函數(shù)的周期性及其求法.
【分析】利用三角函數(shù)的降冪公式與輔助角公式可將f(x)=sin2x+sinxcosx+2化為：f(x)= sin(2x﹣ )+ ，利用周期公式即可求得其周期.
【解答】解：∵f(x)=sin2x+sinxcosx
= + sin2x
= (sin2x﹣cos2x)+
= sin(2x﹣ )+ ，
∴其最小正周期T= =π.
故答案為：π.
7.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，已知b﹣c= a，2sinB=3sinC，則cosA的值為 ﹣ .
【考點(diǎn)】余弦定理;正弦定理.
【分析】由條件利用正弦定理求得a=2c，b= ，再由余弦定理求得cosA= 的值.
【解答】解：在△ABC中，
∵b﹣c= a ①，2sinB=3sinC，
∴2b=3c ②，
∴由①②可得a=2c，b= .
再由余弦定理可得 cosA= = =﹣ ，
故答案為：﹣ .
8.已知過(guò)點(diǎn)A(﹣2，m)和點(diǎn)B(m，4)的直線l1，直線2x+y﹣1=0為l2，直線x+ny+1=0為l3，若l1∥l2，l2⊥l3，則m+n= ﹣10 .
【考點(diǎn)】直線的一般式方程與直線的垂直關(guān)系;直線的一般式方程與直線的平行關(guān)系.
【分析】由條件根據(jù)兩直線平行，斜率相等;兩直線垂直，斜率之積等于﹣1，分別求得m、n的值，可得m+n的值.
【解答】解：由題意可得，直線為l1的斜率為 ，直線l2的斜率為﹣2，且l1∥l2，
∴ =﹣2，求得m=﹣8.
由于直線l3的斜率為﹣ ，l2⊥l3，∴﹣2×(﹣ )=﹣1，求得n=﹣2，
∴m+n=﹣10，
故答案為：﹣10.
9.若直線3x﹣4y+5=0與圓x2+y2=r2(r>0)相交于A，B兩點(diǎn)，且∠AOB=120°，(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，則r= 2 .
【考點(diǎn)】直線與圓相交的性質(zhì).
【分析】若直線3x﹣4y+5=0與圓x2+y2=r2(r>0)交于A、B兩點(diǎn)，∠AOB=120°，則△AOB為頂角為120°的等腰三角形，頂點(diǎn)(圓心)到直線3x﹣4y+5=0的距離d= r，代入點(diǎn)到直線距離公式，可構(gòu)造關(guān)于r的方程，解方程可得答案.
【解答】解：若直線3x﹣4y+5=0與圓x2+y2=r2(r>0)交于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，
且∠AOB=120°，
則圓心(0，0)到直線3x﹣4y+5=0的距離d=rcos = r，
即 = r，
解得r=2，
故答案為：2.
10.(B)已知等比數(shù)列{an}，首項(xiàng)為3，公比為 ，前n項(xiàng)之積最大，則n= 3 .
【考點(diǎn)】等比數(shù)列的前n項(xiàng)和.
【分析】an=3× ，可得前n項(xiàng)之積Tn= ，對(duì)n分類(lèi)討論，底數(shù) 與1比較大小關(guān)系即可得出.
【解答】解：an=3× ，
∴前n項(xiàng)之積Tn=3n× = = ，
由于n≤3時(shí)， ≥1;由于n≥4時(shí)， <1.
∴n=3時(shí)，前n項(xiàng)之積最大，
故答案為：3.
11.已知cos(α﹣ )=﹣ ，sin( ﹣β)= ，且0<β< <α<π，則sin = .
【考點(diǎn)】三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值.
【分析】利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得sin(α﹣ )和cos( ﹣β)的值，再利用兩角差的正弦公式求得sin 的值.
【解答】解：∵cos(α﹣ )=﹣ ，sin( ﹣β)= ，且0<β< <α<π，
∴α﹣ ∈( ，π)，sin(α﹣ )= = ; ﹣β∈(0， )，cos( ﹣β)= = .
則sin =sin[(α﹣ )﹣( ﹣β)]=sin(α﹣ )cos( ﹣β)﹣cos(α﹣ )sin( ﹣β)
= • + • = .
12.在△ABC中，已知AC=2，BC=3，cosA=﹣ ，則sin(2B+ )= .
【考點(diǎn)】三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值.
【分析】由條件利用同角三角的基本關(guān)系求得sinA的值，利用正弦定理求得sinB的值，可得cosB的值，利用二倍角公式求得sin2B、cos2B的值，再利用兩角和的正弦公式，求得要求式子的值.
【解答】解：△ABC中，∵已知AC=2，BC=3，cosA=﹣ ∈( ，π)，∴B∈(0， )，
∴sinA= = ，則由正弦定理可得 = = ，
∴sinB= ，cosB= = ，∴sin2B=2sinBcosB= ，∴cos2B=1﹣2sin2B= ，
sin(2B+ )=sin2Bcos +cos2Bsin = • + • = ，
故答案為： .
13.設(shè)兩條直線的方程分別為x+y+a=0，x+y+b=0，已知a，b是方程x2+x+c=0的兩個(gè)實(shí)根，且0≤c≤ ，則這兩條直線之間的距離的取值范圍是 [ ， ] .
【考點(diǎn)】?jī)蓷l平行直線間的距離.
【分析】由題意和韋達(dá)定理可得a+b=﹣1，ab=c，可得兩平行線間的距離d滿(mǎn)足d2= = = ，由0≤c≤ 和不等式的性質(zhì)可得.
【解答】解：∵a，b是方程x2+x+c=0的兩個(gè)實(shí)根，
∴由韋達(dá)定理可得a+b=﹣1，ab=c，
∴兩平行線間的距離d= ，
故d2= = = ，
∵0≤c≤ ，∴0≤4c≤ ，∴﹣ ≤﹣4c≤0，
∴ ≤1﹣4c≤1，∴ ≤ ≤ ，
∴ ≤d2≤ ，∴ ≤d≤
故答案為：[ ， ]
14.設(shè)點(diǎn)M(x0，1)，已知圓心C(2，0)，半徑為1的圓上存在點(diǎn)N，使得∠CMN=45°，則x0的最大值為 3 .
【考點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系.
【分析】作出對(duì)應(yīng)的同學(xué)根據(jù)條件∠CMN=45°，則必有∠CMN≤∠CMT，所以只需∠CMT≥45°即可，借助于三角函數(shù)容易求出x0的范圍.
【解答】解：易知M(x0，1)在直線y=1上，
設(shè)圓C的方程為(x﹣2)2+y2=1與直線y=1的交點(diǎn)為T(mén)，
假設(shè)存在點(diǎn)N，使得∠CMN=45°，則必有∠CMN≤∠CMT，
所以要是圓上存在點(diǎn)N，使得∠CMN=45°，只需∠CMT≥45°，
因?yàn)門(mén)(2，1)，
所以只需在Rt△CMT中，tan∠CMT= = ≥tan45°=1，
即|x0﹣2|≤1，
則﹣1≤x0﹣2≤1，
即1≤x0≤3
故x0∈[1，3].
則x0的最大值為3，
故答案為：3.
15.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=1，Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且滿(mǎn)足：anSn+1﹣an+1Sn+an﹣an+1= anan+1，則 S12= 3 .
【考點(diǎn)】等比數(shù)列的前n項(xiàng)和;等比數(shù)列的通項(xiàng)公式.
【分析】根據(jù)題意，利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求出通項(xiàng)公式an，進(jìn)一步求出數(shù)列對(duì)應(yīng)的前n項(xiàng)和公式，再計(jì)算 S12的值.
【解答】解：∵anSn+1﹣an+1Sn+an﹣an+1= anan+1，且Sn+1=Sn+an+1，
∴(an﹣an+1)Sn+ anan+1+an﹣an+1=0，
∴Sn+ +1=0;
又∵a1=1，令n=1，則1+ +1=0，解得a2= ，
同理可得a3= ，
猜想an= ;
下面利用數(shù)學(xué)歸納法證明：
①當(dāng)n=1時(shí)，a1= =1，成立;
?、诩僭O(shè)當(dāng)n≤k(k∈N*)時(shí)成立，ak= ，則Sk= = ;
∵Sk+ +1=0，
∴ + +1=0，
解得ak+1= ;
因此當(dāng)n=k+1時(shí)也成立，
綜上，對(duì)于n∈N*，an= 都成立;
由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式得，Sn= ;
∴ S12= × =3.
16.在△ABC中，3sinA+4cosB=6，3cosA+4sinB=1，則∠C的大小為 .
【考點(diǎn)】余弦定理.
【分析】已知兩等式兩邊分別平方，相加后利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系化簡(jiǎn)，求出sinC的值，即可確定出C的度數(shù).
【解答】解：由3sinA+4cosB=6①，3cosA+4sinB=1②，
?、?+②2得：(3sinA+4cosB)2+(3cosA+4sinB)2=37，
化簡(jiǎn)得：9+16+24(sinAcosB+cosAsinB)=37，
即sin(A+B)=sin(π﹣C)=sinC= ，又∠C∈(0，π)，
∴∠C的大小為 或 ，
若∠C= π，得到A+B= ，則cosA> ，所以3cosA> >1，
∴3cosA+4sinB>1與3cosA+4sinB=1矛盾，所以∠C≠ π，
∴滿(mǎn)足題意的∠C的值為 .
則∠C的大小為 .
故答案為：
17.在△ABC中，AC=3，∠A= ，點(diǎn)D滿(mǎn)足 =2 ，且AD= ，則BC的長(zhǎng)為 3 .
【考點(diǎn)】三角形中的幾何計(jì)算.
【分析】由已知，結(jié)合向量的基本運(yùn)算可求得 = ，然后結(jié)合已知及向量數(shù)量積的定義及性質(zhì)可求AB，最后利用余弦定理可求BC
【解答】解：∵ =2
∴ = = =
∵AD=| |= ，AC=| |=3，A= ，設(shè)AB=c
∴ =| || |cosA=
則13= =
∴13=1
整理可得，2c2 ﹣54=0
∵c>0
解可得，c=3
由余弦定理可得，a2=c2+b2﹣2bc•cosA
=
二、解答題
18.(1)已知sinα= ，α∈( ，π)，求sin2α;
(2)已知tanα= ，求tan2α的值.
【考點(diǎn)】二倍角的正切;二倍角的正弦.
【分析】(1)由條件利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得cosα的值，再利用二倍角公式，求得 sin2α 的值.
(2)由條件利用二倍角的正切公式求得tan2α的值.
【解答】解：(1)∵已知sinα= ，α∈( ，π)，∴cosα=﹣ =﹣ ，
∴sin2α=2sinαcosα=﹣ .
(2)∵已知tanα= ，∴tan2α= = = .
19.在△ABC中，
(1)已知 a=2bsinA，求B;
(2)已知a2+b2+ ab=c2，求C.
【考點(diǎn)】余弦定理;正弦定理.
【分析】(1)由正弦定理可得： sinA=2sinBsinA，sinA≠0，化為sinB= ，即可得出;
(2)利用余弦定理即可得出.
【解答】解：(1)∵ a=2bsinA，由正弦定理可得： sinA=2sinBsinA，sinA≠0，化為sinB= ，B∈(0，π)，∴B= 或 .
(2)∵a2+b2+ ab=c2，∴cosC= = =﹣ ，又C∈(0，π)，
∴C= .
20.(1)求過(guò)點(diǎn)A(2，3)，且垂直于直線3x+2y﹣1=0的直線方程;
(2)已知直線l過(guò)原點(diǎn)，且點(diǎn)M(5，0)到直線l的距離為3，求直線l的方程.
【考點(diǎn)】待定系數(shù)法求直線方程.
【分析】(1)由已知方程和垂直關(guān)系可得所求直線的斜率，寫(xiě)出點(diǎn)斜式方程，化為一般式即可;
(2)可設(shè)直線l的方程為kx﹣y=0，由點(diǎn)到直線的距離公式可得k的方程，解方程可得.
【解答】解：(1)∵直線3x+2y﹣1=0的斜率為﹣ ，
∴由垂直關(guān)系可得所求直線的斜率k= ，
又直線過(guò)點(diǎn)A(2，3)，∴方程為y﹣3= (x﹣2)
化為一般式可得2x﹣3y+5=0;
(2)∵直線l過(guò)原點(diǎn)，且點(diǎn)M(5，0)到直線l的距離為3，
∴可設(shè)直線l的方程為y=kx，即kx﹣y=0，
由點(diǎn)到直線的距離公式可得 =3，解得k=±
∴直線l的方程為y=± x，即3x±4y=0
21.過(guò)點(diǎn)P(﹣3，﹣4)作直線l，當(dāng)l的斜率為何值時(shí)
(1)l將圓(x﹣1)2+(y+2)2=4平分?
(2)l與圓(x﹣1)2+(y+2)2=4相切?
(3)l與圓(x﹣1)2+(y+2)2=4相交且所截得弦長(zhǎng)=2?
【考點(diǎn)】直線的點(diǎn)斜式方程.
【分析】(1)當(dāng)l經(jīng)過(guò)圓心Q(1，﹣2)時(shí)，可將圓(x﹣1)2+(y+2)2=4平分，利用點(diǎn)斜式即可得出.
(2)設(shè)直線l的方程為：y+4=k(x+3)，化為kx﹣y+3k﹣4=0，根據(jù)直線l與圓相切，可得圓心Q(1，﹣2)到直線l的距離d= =2，解出即可.
(3)由于l與圓(x﹣1)2+(y+2)2=4相交且所截得弦長(zhǎng)=2，可得直線l的距離d= = ，解出k即可.
【解答】解：(1)當(dāng)l經(jīng)過(guò)圓心Q(1，﹣2)時(shí)，可將圓(x﹣1)2+(y+2)2=4平分，
∴直線l的方程為：y+2= (x﹣1)，化為x﹣2y﹣5=0.
(2)設(shè)直線l的方程為：y+4=k(x+3)，化為kx﹣y+3k﹣4=0，
∵直線l與圓相切，
∴圓心Q(1，﹣2)到直線l的距離d= =2，化為：3k2﹣4k=0，
解得k=0或 .∴當(dāng)k=0或 時(shí)，直線l與圓相切.
(3)∵l與圓(x﹣1)2+(y+2)2=4相交且所截得弦長(zhǎng)=2，
∴直線l的距離d= = ，化為13k2﹣16k+1=0，
解得k= .
∴當(dāng)k= 時(shí)，滿(mǎn)足條件.
22.已知等差數(shù)列{an}滿(mǎn)足a2=0，a6+a8=﹣10.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn;
(3)求數(shù)列{ }的前n項(xiàng)和Tn.
【考點(diǎn)】數(shù)列的求和;等差數(shù)列的通項(xiàng)公式;等差數(shù)列的前n項(xiàng)和.
【分析】(1)設(shè)出等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差，由已知列式求出首項(xiàng)和公差，則等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可求;
(2)直接利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求解;
(3)把數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式代入 ，利用錯(cuò)位相減法求前n項(xiàng)和Tn.
【解答】解：(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d，
由a2=0，a6+a8=﹣10，得 ，解得 .
∴an=1﹣(n﹣1)=2﹣n;
(2) = ;
(3) = ，
∴ ，
，
兩式作差得： = = .
∴ .
23.在△ABC中，角A、B、C的 對(duì)邊分別為a、b、c，且 .
(1)求 的值;
(2)若 ，求tanA及tanC的值.
【考點(diǎn)】正弦定理;兩角和與差的正弦函數(shù);兩角和與差的正切函數(shù).
【分析】(1)利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)cos2C，變形后求出sin2C的值，由C為三角形的內(nèi)角，得到sinC大于0，開(kāi)方可得出sinC的值，利用正弦定理化簡(jiǎn)得到的關(guān)系式，得到2sinB=sinAsinC，再由三角形的內(nèi)角和定理及誘導(dǎo)公式得到sinB=sin(A+C)，代入關(guān)系式中，利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，根據(jù)sinAsinC不為0，等式左右兩邊同時(shí)除以cosAcosC，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系弦化切后，即可得到所求式子的值;
(2)由第一問(wèn)求出的式子表示出tanA，然后把tanB中的B換為π﹣(A+C)，利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)后，將表示出的tanA代入，得到關(guān)于tanC的方程，求出方程的解得到tanC的值，代入表示出的tanA，可得出tanA的值.
【解答】解：(1)∵ ，cos2C=1﹣2sin2C，
∴ ，
∵C為三角形內(nèi)角，∴sinC>0，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴sinC= ，即2sinB=sinAsinC，
∵A+B+C=π，
∴sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC，
∴2sinAcosC+2cosAsinC=sinAsinC，
∵sinA•sinC≠0，
∴ ;
(2)∵ ，
∴ ，
∵A+B+C=π，
∴ .
∴ ，
整理得tan2C﹣8tanC+16=0，
解得：tanC=4，
將tanC=4代入得： =4.
24.如圖，ABC為一直角三角形草坪，其中∠C=90°，BC=2米，AB=4米，為了重建草坪，設(shè)計(jì)師準(zhǔn)備了兩套方案：
方案一：擴(kuò)大為一個(gè)直角三角形，其中斜邊DE過(guò)點(diǎn)B，且與AC平行，DF過(guò)點(diǎn)A，EF過(guò)點(diǎn)C;
方案二：擴(kuò)大為一個(gè)等邊三角形，其中DE過(guò)點(diǎn)B，DF過(guò)點(diǎn)A，EF過(guò)點(diǎn)C.
(1)求方案一中三角形DEF面積S1的最小值;
(2)求方案二中三角形DEF面積S2的最大值.
【考點(diǎn)】基本不等式在最值問(wèn)題中的應(yīng)用.
【分析】(1)在方案一：在三角形AFC中，設(shè)∠ACF=α，α∈(0， )，表示出三角形DEF面積S1，利用基本不等式求出最小值;
(2)在方案二：在三角形DBA中，設(shè)∠DBA=β，β∈(0， )，表示出三角形DEF面積S1，利用輔助角公式求出最小值.
【解答】解：(1)在方案一：在三角形AFC中，設(shè)∠ACF=α，α∈(0， )，
則 ，…
因?yàn)镈E∥AC，所以∠E=α， ，
且 ，即 ，…
解得 ，…
所以 ，
所以當(dāng)sin2α=1，即α=45°時(shí)，S1有最小值 . …
(2)在方案二：在三角形DBA中，設(shè)∠DBA=β，β∈(0， )，則 ，
解得 ，…
三角形CBE中，有 ，解得 ，…
則等邊三角形的邊長(zhǎng)為 ，…
所以邊長(zhǎng)的最大值為 ，所以面積S2的最大值為 .…
高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題參考
第一卷(選擇題 共60分)
一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)
1. 若方程x2+y2+2ax-by+c=0表示圓心為C(2,2),半徑為2的圓,則a,b,c的值依次為( )
A.2,4,4 B.-2,4,4 C.2,-4,4 D.2,-4,-4
2.某班的60名同學(xué)已編號(hào)1,2,3，…，60，為了解該班同學(xué)的作業(yè)情況，老師收取了號(hào)碼能被5整除的12名同學(xué)的作業(yè)本，這里運(yùn)用的抽樣方法是( )
A.簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣 B.系統(tǒng)抽樣 C.分層抽樣 D.抽簽法
3. 函數(shù)y=cosx•tanx的值域是( ).
A.(-1,0)∪(0,1) B.[-1,1] C.(-1,1) D.[-1,0]∪(0,1)
4. 如圖所示的程序框圖，若輸出x的值為23，則輸入的x 值為( )
A.0 B.1 C.2 D.11
5. 圓C1：(x+2)2+(y-m)2=9與圓C2：(x-m)2+(y+1) 2=4外切，則m的值為( )
A.2或-5 B.-5 C.2 D.不確定
6.若 那么 的值為( )
A.0 B.1 C.-1 D.
7. 某籃球隊(duì)甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員練習(xí)罰球，每人練習(xí)10組，每組罰球40個(gè).命中個(gè)數(shù)的莖葉圖如右圖，則下面結(jié)論中錯(cuò)誤的一個(gè)是( )
A.甲的極差是29 B.乙的眾數(shù)是21
C.甲罰球命中率比乙高 D.甲的中位數(shù)是24
8 . 為三角形ABC的一個(gè)內(nèi)角,若 ,則這個(gè)三角形的形狀為 ( )
A. 銳角三角形 B. 鈍角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形
9.方程 =lgx的根的個(gè)數(shù)是 ( )
A.0 B. 2 C. 1 D.無(wú)法確定
10. △ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)是A(3,1,1)，B(-5,2,1)，C(-83，2,3)，則它在yOz平面上射影圖形的面積是( )
A.4 B.3 C.2 D.1
11. 在 內(nèi)，使 的成立的 的取值范圍是( )
A.( ) B.( ) C.( ) D.( )
12.下列說(shuō)法正確的是( ).
A.在0，π2內(nèi)sinx>cosx B.函數(shù)y=π1+tan2x的最大值為π
C.函數(shù)y=2sinx+π5的圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸是x=45π
D .函數(shù)y=sin 2x的圖象可以由函數(shù)y=sin2x-π4的圖象向右平移π8個(gè)單位得到
第二卷(非選擇題 共90分)
二.填空題(本大題共4小題，每小題5分共20分.請(qǐng)把正確答案填在題中橫線上)
13.若一直線與圓x2+y2+kx-y-9=0的兩個(gè)交點(diǎn)恰好關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，則k=_______
14.已知tan α=2，則sin2( + )+sin cos -2cos2(- )的值為_(kāi)_____
15.若a1，a2，…，a20這20個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為x，方差為0.21，則a1，a2，…，a20，x這21個(gè)數(shù)據(jù)的方差為_(kāi)_______.
16. 在區(qū)間[-π，π]內(nèi)隨機(jī)取兩個(gè)數(shù)分別記為a，b，則使得方程x2+2ax-b2+π2=0有實(shí)根的概率為_(kāi)______
三.解答題(本大題共6小題，共70分.解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)
17(10分)某車(chē)間為了規(guī)定工時(shí)定額，需要確定加工零件所花費(fèi)的時(shí)間，為此做了四次試驗(yàn)，得到的數(shù)據(jù)如下表所示：
零件的個(gè)數(shù)x(個(gè)) 2 3 4 5
加工的時(shí)間y(h) 2.5 3 4 4.5
求出y關(guān)于x的線性回歸方程y^=b^x+a^，并預(yù)測(cè)加工10個(gè)零件需要多少時(shí)間?
18.(12分)統(tǒng)計(jì)局就某地居民的月收入情況調(diào)查了10 000人,并根據(jù)所得數(shù)據(jù)畫(huà)了樣本頻率分布直方圖,每個(gè)分組包含左端點(diǎn),不包含右端點(diǎn),如第一組表示收入在500~1 000元.
(1)為了分析居民的收入與年齡、職業(yè)等方面的關(guān)系,必須按月收入再?gòu)倪@10 000人中用分層抽樣法抽出100人作進(jìn)一步分析,則月收入在2 000~2 500元的應(yīng)抽取多少人?
(2)根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)和平均數(shù);
19.(12分) 一個(gè)袋中裝有四個(gè)形狀、大小完全相同的球，球的編號(hào)分別為1,2,3,4.
(1)從袋中隨機(jī)抽取兩個(gè)球，求取出的球的編號(hào)之和不大于4的概率.
(2)先從袋中隨機(jī)取一個(gè)球，該球的編號(hào)為m，將球放回袋中，然后再?gòu)拇须S機(jī)取一個(gè)球，該球的編號(hào)為n，求n
20.(12分) 已知函數(shù) ，
其部分圖象如圖所示.
(1)求函數(shù) 的表達(dá)式;
(2)求方程 , 的解.
21.(12分)已知直線l1:x-y-1=0,直線l2:4x+3y+14=0,直線l3:3x+4y+10=0,求圓心在直線l1上,與直線l2相切,截直線l3所得的弦長(zhǎng)為6的圓的方程.
22.(12分) 已知函數(shù) ，
(1)求 的單調(diào)增區(qū)間;
(2)若 ， =a有且僅有一個(gè)根,求a的范圍.
高一年級(jí)數(shù)學(xué)試題答案
選擇題：BBCCA CDBCD CB
填空題：13. 0 14. 45 15. 0.2 16.1-π4
17. 解：由表中數(shù)據(jù)得：i=14xiyi=52.5，x=3.5，y=3.5，i=14x2i=54.
代入公式得b^=0.7，a^=1 .05∴y^=0.7x+1.05. -----8分
將x=10代入回歸直線方程，
得y^=0.7×10+1.05=8.05(h).
∴預(yù)測(cè)加工10個(gè)零件需要8.05 h. --------10分
18. 解:(1)因?yàn)?0.000 2 +0.000 4+0.000 3+0.000 1)×500=0.5,
所以a==0.000 5, ---3分
月收入在2 000元~2 500元的頻率為0.25,
所以抽取的100人中月收入在2 000元~2 500元的人數(shù)為
0.25×100=25(人). ------6分
(2)因?yàn)?.000 2×(1 000-500)=0.1,0.000 4×(1 500-1 000)=0.2,
0.000 5×(2 000-1 500)=0.25, 0.1+0.2+0.25=0.55>0.5,
所以樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)是1 500+ =1 900(元). ------9分
(750×0.000 2+1 250×0.000 4+1 750×0.000 5+2 250×0.000 5+2 750×0.000 3+3 250×0.000 1)×500=1 900(元).
所以樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為1 900元. -----12分
19. 解：(1)從袋中隨機(jī)取兩個(gè)球，其一切可能的結(jié)果組成的基本事件有1和2,1和3,1和4,2和3,2和4,3和4，共6個(gè).從袋中取出的球的編號(hào)之和不大于4的事件有1和2,1和3，共2個(gè).
因此所求事件的概率P=26=13. -------6分
(2)先從袋中隨機(jī)取一個(gè)球，記下編號(hào)為m，放回后，再?gòu)拇须S機(jī)取一個(gè)球，記下編號(hào)為n，其一切可能的結(jié)果(m，n)有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16個(gè).
又滿(mǎn)足m+2≤n的事件的概率為P1=316，
故滿(mǎn)足n
20. 解：(1)
且 過(guò) ，則 ----6分
( 2)當(dāng) 時(shí)， ，
----------- 12分
21. 設(shè)所求圓的圓心為C(a, a-1),半徑 為r(r>0),則點(diǎn)C到直線l2的距離d1= = . --------3分
點(diǎn)C到直線l3的距離是d2= = . ---------6分
由題意,得 -------9分
解得a=2,r=5,即所求圓的方程是(x-2)2+(y-1)2=25. ----12分
22.(1) ， ，
增區(qū)間為 ; ----- -6分
( 2)
由圖像可知 =a有且僅有一個(gè)根時(shí)a的范圍
為{a︱ 或a=2} ------12分
高一年級(jí)數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題
一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目 要求的.請(qǐng)將正確答案填涂在答題卷上)
1.設(shè)全集U=A∪B={1，2，3，4，5}，A∩(∁UB)={1，2}，則集合B=( )
A.{2，4，5} B.{3，4，5} C.{4， 5} D.(2，4)
2.過(guò)點(diǎn)M(﹣3，2)，N(﹣2，3)的直線傾斜角是( )
A. B. C. D .
3.函數(shù) 的零點(diǎn)落在的區(qū)間是( )
4.計(jì)算sin105°=( )
A. B. C. D.
5.函數(shù) 的圖像( )
A.關(guān)于點(diǎn) 對(duì)稱(chēng)， B.關(guān)于直線 對(duì)稱(chēng)， C.關(guān)于點(diǎn) 對(duì)稱(chēng)， D.關(guān)于直線 對(duì)稱(chēng)
6.要得到函數(shù) 的圖像，只需將函數(shù) 的圖像( )
A.向左平行移動(dòng) 個(gè)單位長(zhǎng)度 B.向右平行移動(dòng) 個(gè)單位長(zhǎng)度
C.向左平行移動(dòng) 個(gè)單位長(zhǎng)度 D.向右平行移動(dòng) 個(gè)單位長(zhǎng)度
7.已知 ，則 ( )
A. B. C. D.
8.已知2sinα+cosα= ，則tan2α=( )
A. B. C.- D.-
9.函數(shù)y=2cos2 -1是( )
A.最小正周期為π的奇函數(shù) B.最小正周期為π的偶函 數(shù)
C.最小正周期為 的奇函數(shù) D.最小正周期為 的偶函數(shù)
10.函數(shù) 的最小值為 ( )
A. B. C. D.
11.設(shè)m，n是不同的直線，α、β、γ是三個(gè)不同的平面，有以下四個(gè)命題：
?、偃鬽⊥α，n⊥α，則m∥n; ②若α∩γ=m，β∩γ=n，m∥n則α∥β;
?、廴?alpha;∥β，β∥γ，m⊥α，則m ⊥γ ④若γ⊥α，γ⊥β，則α∥β.
其中正確命題的序號(hào)是( ) A.①③ B.②③ C.③④ D.①④
12.已知 則方程 所 有實(shí)根的個(gè)數(shù)是( )
A.2 B.3 C.4 D.5
二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分.請(qǐng)將正確答案寫(xiě)在答題卷上)
13.已知 則
14.經(jīng)過(guò)點(diǎn) ，且與直線 =0垂直的直線方程是
15.已知函數(shù) 若對(duì)任意x1≠x2，都有 成立，則a的取值范圍是
16.設(shè)常 數(shù)a使方程 在閉區(qū)間[0,2 ]上恰有三個(gè)解 ，則 。
三、解答題(本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明或演算步驟.)
17.已知函數(shù)
(Ⅰ)求出使 取最大值、最小值時(shí) 的集合;
(Ⅱ)用五點(diǎn)法畫(huà)出它在一個(gè)周期內(nèi)的閉區(qū)間上的圖象;
18.已知函數(shù)y=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0，|φ|<π)的 一段圖象(如圖)所示.
(Ⅰ)求函數(shù)的解析式;
(Ⅱ)求這個(gè)函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間。
19.設(shè)函數(shù) ， .
(Ⅰ)求 的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間;
(Ⅱ)若 時(shí)， ，求函數(shù) 的最大值，并指出 取何值時(shí)，函數(shù) 取得最大值.
20.如圖，已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，M、N分別為AB、PC的中點(diǎn)，∠PDA=45°，AB=2，AD=1.
(Ⅰ)求證：MN∥平面PAD;
(Ⅱ)求證：平面PMC⊥平面PCD;
21.已知圓 ： ，點(diǎn) 是直線 ： 上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) 作圓M的切線 、 ，切點(diǎn)為 、 .
(Ⅰ)當(dāng)切線PA的長(zhǎng)度為 時(shí)，求點(diǎn) 的坐標(biāo);
(Ⅱ)若 的外接圓為圓 ，試問(wèn)：當(dāng) 運(yùn)動(dòng)時(shí)，圓 是否過(guò)定點(diǎn)?若存在，求出所有的定點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在，說(shuō)明理由;
(Ⅲ)求線段 長(zhǎng)度的最小值.
2 2.已知 二次函數(shù)g(x)=mx2﹣2mx+n+1(m>0)在區(qū)間[0，3]上有最大值4，最小值0.
(Ⅰ)求函數(shù)g(x)的解析式;
(Ⅱ)設(shè)f(x)= .若f(2x)﹣k•2x≤0在x∈[﹣3，3]時(shí)恒成立，求k的取值范圍.
期中數(shù)學(xué)試卷參考答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
B B B D A C C A A C A B
13.-2 14.
15.(0, ] 16.
17.
18.(1)由圖可知A=3，
T= =π，又 ，故ω=2
所以y=3sin(2x+φ)，把 代入得：
故 ，∴ ，k∈Z
∵|φ|<π，故k=1， ，
∴
(2)由題知 ，
解得：
故這個(gè)函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為 ，k∈Z。
19.(1)
所以：
因?yàn)椋?/p>
所以單調(diào)遞增區(qū)間為：
(2)因?yàn)椋?/p>
當(dāng) 時(shí)， ，
所以
20.(1)證明：如圖，取PD的中點(diǎn)E，連結(jié)AE、EN
則有EN∥CD∥AM，且EN= CD= AB=MA.
∴四邊形AMNE是平行四邊形.
∴MN∥AE.
∵AE⊂平面PAD，MN⊄平面PAD，
∴MN∥平面PAD;
(2)證明：∵PA⊥矩形ABCD所在的平面，CD，AD⊂矩形ABCD所在的平面，
∴PA⊥CD，PA⊥AD，
∵CD⊥AD，PA∩AD=A ，
∴CD⊥平面PAD，
又∵AE⊂平面PAD，
∴CD⊥AE，
∵∠PDA=45°，E為PD中點(diǎn)
∴AE⊥PD，
又∵PD∩CD=D，
∴AE⊥平面PCD，
∵M(jìn)N∥AE，
∴MN⊥平面PCD，
又∵M(jìn)N⊂平面PMC，
∴平面PMC⊥平面PCD;
21.解：(Ⅰ)由題可知，圓M的半徑r=2，設(shè)P(2b,b)，
因?yàn)镻A是圓M的一條切線，所以∠MAP=90°,
所以MP= ，解得
所以
(Ⅱ)設(shè)P(2b，b)，因?yàn)?ang;MAP=90°，所以經(jīng)過(guò)A、P、M三點(diǎn)的圓 以MP為直徑，
其方程為：
即
由 ，
解得 或 ，所以圓過(guò)定點(diǎn)
(Ⅲ)因?yàn)閳A 方程為
即 ……①
圓 ： ，即 ……②
?、?①得圓 方程與圓 相交弦AB所在直線方程為：
點(diǎn)M到直線AB的距離
相交弦長(zhǎng)即：
當(dāng) 時(shí)，AB有最小值
22.解：(Ⅰ)∵g(x)=m(x﹣1)2﹣m+1+n
∴函數(shù)g(x)的圖象的對(duì)稱(chēng)軸方程為x=1
∵m>0依題意得 ，
即 ，
解得
∴g(x)=x2﹣2x+1，
(Ⅱ)∵
∴ ，
∵f(2x)﹣k•2x≤0在x∈[﹣3，3]時(shí)恒成立，
即 在x∈[﹣3，3]時(shí)恒成立
∴ 在x∈[﹣3，3]時(shí)恒成立
只需
令 ，
由x∈[﹣3，3]得
設(shè)h(t)=t2﹣4t+1
∵h(yuǎn)(t)=t2﹣4t+1
=(t﹣2)2﹣3
∴函數(shù)h(x)的圖象的對(duì)稱(chēng)軸方程為t=2
當(dāng)t=8時(shí)，取得最大值33.
∴k≥h(t)max=h(8)=33
∴k的取值范圍為[33，+∞)
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